SISTEM PERSAMAAN LINIER

Pengertian persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui x₁,x₂,x₃…., x_n yang dinyatakan dalam bentuk :

dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis.

Contoh

Persamaan linier :

(1).  2x₁ + 4x₂ = 10

(2).  2x₁ – 4x₂ + 3x₃ + 4x₄ = 5

Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk :

dimana x₁, x₂, …, x_n disebut variabel yang tidak diketahui, a_ij konstanta koefisien sistem persamaan linier dan b_j konstanta yang diketahui.

Bentuk Matrik SPL

Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi,

                  AX=B

atau,  

SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi :

(a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0

(b). SPL non homogen, jika terdapat koefisien matrik B tak nol

CONTOH :

SPL non homogen

Bentuk matrik SPL

Metode Solusi SPL

—  Metode Eliminasi Gouss

—  Metode Eliminasi Gouss Jourdan

—  Metode Crammer

—  Metode Invers Matrik

—  Metode Dekomposisi Matrik

—  Metode Gouss Seidel

—  Metode Jacobi

—  Metode Numerik

—  Solusi dengan program komputer

METODE ELIMINASI GOUSS

OPERASI ELEMENTER BARIS :

(1). Hi ß k Hi :

       Kalikan sembarang baris ke-I dengan konstanta tak nol k

(2). Hi ß Hj

       Tukarkanlah semua elemen baris ke-i dengan baris ke-j

(3). Hi ß Hi + kHj

                Kalikanlah baris ke-j dengan konstanta tak nol k, dan hasilnya jumlahlan pada baris ke-I

RANK MATRIK

Rank matrik berukuran (mxn) ditulis r(A) adalah banyaknya jumlah baris tak nol dari matrik eselon baris tereduksi.

MATRIK ESELON BARIS

Matrik eselon baris tereduksi adalah matrik yang mempunyai sifat-sifat sebagai berikut :

(1). Jika suatu baris yang elemenya tak nol nol, bilangan pertama pada baris tersebut 1 (–1) utama : pivot

(2). Jika terdapat baris semua elemen adalah 0, baris spt itu tempatkan pada bagian bawah matrik

(3). Jika terdapat 2 baris yang berurutan, 1 utama baris yang lebih rendah terletak jauh kekanan dari pada 1 utama baris yang lebih tingggi.

(4). Setiap kolom yang memuat 1 utama, mempunyai 0 did tempat baris yang lebih rendah

Andaikan diberikan SPL dengan m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui, x₁, x₂,…,x_n yaitu :

           AX = B

Langkah-langkah menentukan konsitensi dan solusi SPL non homogen adalah sbb :

(1). Bentuk matrik lengkap [A,B]

(2). Reduksilah matrik lengkap [AB] menjadi matrik eselon baris tereduksi, E[AB] dengan menggunakan serangkaian operasi elementer baris

(3). Dari E[AB], hitunglah rank matrik, r(A) dan r(AB), dengan cara menghitung jumlah baris tak nolnya.

(4). Konsistensi SPL

      (a). Jika r(A)=r(AB)=n, maka SPL konsisten solusi tunggal

      (b). Jika r(A)=r(AB)=r < n, maka SPL konsisten solusi memuat parameter

      (c). Jika r(A)¹r(AB), maka SPL tidak konsisten/tidak ada solusi

(5). Solusi SPL

      (a). Jika SPL konsisten, susunan SPL dari matrik eselon

       (b). Tentukan solusi SPL dengan cara eliminasi berulang dari xn ke x1

METODE CRAMMER

Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

Andaikan determinan matrik A tidak sama dengan nol, maka sistem persamaan linier non homogen solusinya tunggal, yaitu:

dimana D_i = det(A_i) determinan matrik  berordo (nxn) yang diperoleh dari A dengan cara mengganti kolom ke-i dengan koefisien matrik B 

METODE INVERS MATRIK

Andaikan, AX=B adalah sistem persamaan linier dengan n persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui,

Andaikan, A dapat didekomposisi menjadi matrik segitiga atas L dan segituga bawah U,akibatnya SPL AX=B dapat ditulis menjadi :

           LUX = B

atau,

             L Y= B

             UX = Y

Langkah-langkah menentukan solusi SPL non homogen, dengan metode dekomposisi matrik adalah :

(1). Tentukan dekomposisi matrik A, menjadi  A=LU, dengan metode Crout, Doolite, Cholesky).

(2). Tentukanlah nilai Y dari persamaan :

             LY=B,

       dengan eliminasi maju

            (y1, y2, y3, …,yn)

(3). Tentukanlah nilai X yang merupakan solusi SPL non homogen, dari persamaan

             UX=Y

 dengan eliminasi mundur

            (xn, xn-1, …,x2,x1)