BASIS DAN DIMENSI 2

Basis

Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :

•  S bebas linier
•  S membangun V

Dimensi

Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor  V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = {u₁, u₂,…,u_n} yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V.

Contoh :

Misalkan, B={i,j,k} dengan i=[1,0,0], j=[0,1,0], dan k=[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R³. Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R³ berdimensi tiga.

Ruang Hasil Kali Dalam

Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [u,v] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :

•  [u,v] = [v,u]                                       (aksioma simetri)
•  [u+v,w] = [u,w] + [v,w]                (aksioma penambahan)
•  [ku,v] = k[u,v]                                  (aksioma kehomogenan)
•  [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0    (aksioma kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u₁,u₂,…,u_n], dan v = [v₁,v₂,…,v_n] adalah vektor-vektor pada Rⁿ, maka :

                  [u,v] = u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rⁿ. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

Basis Ortonormal

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dikatakan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal. Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya panjangnya 1 disebut ortonormal.

Contoh :

S={u1,u2,u3} dengan u1=[1,2,1], u2=[1,-1,1], dan u3=[1,0,-1]. Himpunan S adalah ortogonal pada R³, karena [u1,u2]=[u1,u3]=[u2,u3]=0

CATATAN:

• Jika S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah adalah basis ortonormal untuk sebuah ruang hasil kali dalam V, dan jika x sembarang vektor di V, maka :

                x = [x,u₁]u₁  + [x,u₂]u₂ +  … + [x,u_n]u_n  

• Misalkan V ruang hasil kali dalam dan {u₁,u₂,…,u_n} himpunan ortonormal Jika W ruang yang dibangun oleh u₁,u₂,…,u_n maka setiap vektor x dalam V dapat dinyatakan dengan : x = v + w dimana :

            v = [v,u₁]u₁  + [v,u₂]u₂ +  … + [v,u_n]u_n  

istilah ortogonal sebenarnya mempertegas bahwa proyeksi yang dilakukan haruslah membentuk hubungan tegak lurus antara ujung vektor yang diproyeksikan dengan ujung vektor hasil proyeksi.

Proses Gram-Schmidt

Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol, mempunyai sebuah basis ortonormal.

Misalkan S={u₁,u₂,…,u_n} basis untuk ruang hasil kali dalam V, algoritma  untuk menentukan ortonormal B={v₁,v₂,…,v_n} untuk V adalah :

Perubahan Basis

Misalkan S={u₁,u₂,…,u_n} basis lama ruang vektor V, dan B={v₁,v₂,…,v_n} basis baru untuk ruang vektor V. Misalkan pula [x]_S matrik koordinat x relatif terhadap S dan [x]_B matrik koordinat x relatif terhadap basis B. Hubungan antara [x]_S dan [x]_B diberikan oleh persamaan :

P adalah matrik transisi dari basis baru B ke basis lama S, dimana kolom-kolom P adalah matrik-matrik koordinat dari vektor-vektor basis baru relatif terhadap basis lama, yaitu :

Contoh :

S={u₁,u₂,u₃} basis lama dan B={v₁,v₂,v₃} basis baru untuk R³, dimana u₁=[1,–1,–1], u₂=[–1,2,3], u₃=[1,1,2], dan v₁=[2,1,2], v₂=[3,2,2], v₃=[1,2,-1]. Jika x=[2,-1,3] berapa [x]_B secara tidak langsung.