NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam Rⁿ dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,

                            Ax = lx

l        disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l.

Contoh :

Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari :

yang bersesuaian dengan nilai eigen, l = 3, karena :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (1)

Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah Ax = lx sebagai,

                                   Ax = lIx

                         (lI – A)x = 0

Agar supaya l menjadi nilai eigen, maka penyelesaian sistem persamaan linier diatas haruslah non trivial, dimana syaratnya adalah :

Teknik Menghitung Nilai Eigen (2)

Persamaan terakhir adalah polinomial l berderajad n yang disebut dengan persamaan karakteritik A, sedangkan nilai eigen matrik A adalah akar-akar persamaan karakteristik A (akar-akar polinomial dalam l).

Langkah-langkah menentukan nilai eigen dan vektor eigen matrik A adalah :

(1)    Bentuk matrik (lI – A)

(2)    Hitung determinan, det(lI – A)=0

(3)    Tentukan persamaan karakteristik dari, (lI – A) = 0

(4)    Hitung akar-akar persamaan karakteristik (nilai lamda)

(5)    Hitung vektor eigen dari SPL, (lI – A)x=0

Diagonalisasi

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matrik P yang mempunyai invers sedemikian rupa sehingga, P^–1AP adalah matrik diagonal. Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A.

Langkah-langkah menentukan matrik P dan D adalah sebagai berikut :

(1). Hitung persamaan karakteristik A nilai eigen

(2). Carilah n vektor eigen bebas linier A sesuai nilai eigen, p₁,p₂, ... , p_n, 

(3). Bantuklah matrik P = [p₁ p₂ … p_n] dan hitunglah P^–1

(4). Hitung, D = P^–1AP dengan diagonal utama, l₁, l₂, … ,l_n

Diagonalisasi Ortogonal

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matrik P yang ortogonal sedemikian rupa sehingga, P^–1AP (=P^TAP) adalah matrik diagonal (elemen matrik D adlah nilai eigen matrik A). Matrik P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal.

Jika A adalah matrik nxn, maka pernyataan berikut ekivalen yakni :

(1). A dapat didiagonalisasi secara ortogonal,

(2). A matrik simetris,

(3). A mempunyai himpunan ortonormal n vektor eigen.

Langkah-langkah menentukan matrik P adalah sebagai berikut :

(1). Carilah n vektor eigen A yang bebas linier, x₁, x₂, ... , x_n.

(2). Terapkan proses Gram-Schmidt untuk membentuk basis ortonormal,

      dari vektor basis pada langkah (1).

(3). Bentuk matrik P dari langkah (2), yakni P = [p₁ p₂ … p_n]