INVERS MATRIK 2

PERKALIAN MATRIK ELEMENTER

(1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas.

(2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I.

(3). Akibatnya, jika :

       E_kE_k–1E_k–2 …E₂E₁A = I, maka,

         A^–1 = E_kE_k–1E_k–2 …E₂E₁

Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom :

Cara menyelesaikan operasi perkalian matrik elementer

1.       Matrik berordo 3X3

Langkah-langkah:

a.       Menghitung E1

Mencari A1 (A itu kolom) = N1

Mencari E1 melibatkan N1

b.      Menghitung E2

Mencari N2 = E1 x A2

Mencari E2 melibatkan N2

Mencari E2 x E1

c.       Menghitung E3 dan invers matrik

Mencari N3 = E2xE1 x A3

Mencari E3 melibatkan N3

Mencari E3xE2xE1

Jadi, invers matrik didapat dari hasil E3xE2xE1

2.       Matrik berordo 4X4

Langkah-langkah:

a.       Menghitung E1

Mencari A1 (A itu kolom) = N1

Mencari E1 melibatkan N1

b.      Menghitung E2

Mencari N2 = E1 x A2

Mencari E2 melibatkan N2

Mencari E2 x E1

c.       Menghitung E3

Mencari N3 = E2xE1 x A3

Mencari E3 melibatkan N3

Mencari E3xE2xE1

d.      Menghitung E4 dan invers matrik

       Mencari N4 = E3xE2xE1 x A4

       Mencari E4 melibatkan N4

       Mencari E4xE3xE2xE1

Jadi, invers matrik didapat dari hasil E4xE3xE2xE1

PARTISI MATRIK

Partisi matrik A yang berordo (mxn) adalah sub matrik-sub matrik yang diperoleh dari A dengan cara memberikan batasan-batasan garis horisontal diantara dua baris dan  atau memberikan batasan-batasan garis vertikal diantara dua kolom.

contoh:

Andaikan A matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers, yaitu : A^–1 = B, dan partisinya masing-masing adalah :

Karena, AB=BA=I maka diperoleh :

Dari perkalian matrik diperoleh hasil :

(1). A₁₁ B₁₁ + A₁₂ B₂₁ = I

(2). A₁₁ B₁₂ + A₁₂ B₂₂ = 0

(3). B₂₁ A₁₁ + B₂₂ A₂₁ = 0

(4). B₂₁ A₁₂ + B₂₂ A₂₂ = I

Dengan asumsi, A₁₁^–1 ada, dan

                          B₂₂ = L^–1 ada

Maka rumus untuk menghitung invers matriknya adalah :

1.       L = A₂₂ – (A₂₁A₁₁^–1A₁₂)

 B₂₂ = L^-1

2.       B₁₂ = –(A ₁₁^–1 A₁₂)L^–1

3.       B₂₁ = – L^–1(A₂₁ A₁₁^–1)

4.       B₁₁ = A₁₁^–1+(A₁₁^–1A₁₂)L^–1(A₂₁ A₁₁^–1)

Langakah-langkah berordo 4X4

a.       Menghitung L

    Mencari A₁₁^-1

    Mencari A₁₁^-1A₁₂

    Mencari A₂₁ A₁₁^-1

    L = A₂₂ – A₂₁A₁₁^-1A₁₂

    Mencari L^-1 = B₂₂

b.      Mencari B₁₂ = –(A ₁₁^–1 A₁₂)L^–1

c.       Mencari B₂₁ = – L^–1(A₂₁ A₁₁^–1)

 Mencari B₁₁ = A₁₁^–1+(A₁₁^–1A₁₂)L^–1(A₂₁ A₁₁^–1)