BASIS DAN DIMENSI 1

RUANG –N EUCLIDES

Ruang-n Euclides

Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n-pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real (x₁,x₂,…,x_n). Himpunan semua n-pasangan bilangan berurut dinamakan ruang-n Eucides dan dinyatakan dengan Rⁿ.

Definisi. Misalkan u=[u₁,u₂,…,u_n]; v=[v₁,v ₂,…,v_n] vektor di Rⁿ.

•  u = v jika hanya jika u₁ = v₁, u₂ = v₂,…, u_n = v_n
•  u + v = [u₁ + v₁, u₂ + v₂,…, u_n + v_n ]
•  ku = [ku₁, ku₂,…, ku_n]
•   u•v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + u_nv_n
•  |u| = (u•u)^1/2 =  

Ruang Vektor

Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi :

(1)    Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V.

(2)     u+v = v+u 

(3)     u+(v+w) = (u+v)+w

(4)     Ada sebuah vektor 0 di V sehingga 0+u=u+0

(5)     Untuk setiap u di V terdapat  –u di V sehingga u+(-u) = -u+u =0

(6)     Jika k skalar dan u di V, maka ku berada di V

(7)     k(u+v) = ku + kv

(8)     (k + l)u = ku + lu

(9)     k(lu) = (kl)u

(10) 1u = u

Kombinasi Linier

Sebuah vektor x dikatakan kombinasi linier dari vektor-vektor u₁, u₂,…, u_n jika vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk :

                     x = k₁u₁+ k₂u₂ +… + k_nu_n

dimana k₁, k₂,…,k_n adalah scalar.

Membangun Ruang Vektor

Jika u₁, u₂,…,u_n adalah vektor-vektor pda ruang vektor V, dan jika setiap vektor x pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier u₁, u₂,…,u_n, maka u₁, u₂,…,u_n dikatakan membangun ruang vektor V.

Kebebasan Linier

Andaikan S = {u₁, u₂,…,u_n} adalah himpunan vektor, S dikatakan bebas linier bilamana kombinasi linier :

                k₁u₁ + k₂u₂ + … + k_nu_n = 0

penyelesaiannya adalah trivial yakni k₁ = 0, k₂ = 0,…, k_n = 0. Jika ada penyelesaian lain (non trivial), maka S dikatakan tak bebas linier.