Apa Itu Matrik?

RUANG BARIS DAN RUANG KOLOM Jika A adalah matrik mXn maka subruang R n yang direntang oleh vector-vector baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari R m yang direntang oleh vector-vector kolom dari A disebut ruang kolom dari A. TEOREMA Jika suatu matrik U berada dalam bentuk baris eselon maka vector-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vector-vektor tak nol) membentuk suatu baris untuk ruang baris U dan vector-vektor kolom dengan utama 1 dari vector-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U. Misalkan matrik: DEFINISI RANK DAN NULITAS Dimensi dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matrik A disebut rank dari A dan dinyatakan sebagai rank(A). Dimensi dari ruang null dari A disebut sebagai nulitas dari A dan dinyatakan sebagai nulitas(A). CATATAN Penyelesaian mencari basis ruang baris dan basis ruang kolom maupun mencari rank dan nulitas menggunakan Operasi Baris Elementer.

Definisi Misalkan A matrik mXn. Subruang dari R n yang dibangun oleh vector baris A disebut ruang baris . Subruang dari R m yang dibangun oleh vector kolom A disebut ruang kolom . Solusi dari Ax = 0, yang merupakan sub ruang dari R n disebut ruang nol . Teorema 1.        Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu matrik. 2.        Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matrik. 3.        Untuk sebarang matrik A, ruang baris dan ruang kolomnya mempunyai dimensi yang sama. DIMENSI RUANG Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang kolom) matrik A disebut rank matrik A, ditulis rank(A). Dimensi ruang nol matrik A disebut notalis matrik A, dituliskan nullity(A). Teorema 1.        Misalkan A sebarang matrik, maka rank(A) = rank(A T ). 2.        Misalkan A ...

Basis Andaikan V adalah sembarang ruang vektor dan S = { u 1 , u 2 ,…, u n } adalah himpunan berhingga vektor-vektor pada V, S dikatakan basis untuk ruang V jika :   S bebas linier   S membangun V Dimensi Sebuah ruang vektor dikatakan berdimensi berhingga, jika ruang vektor   V mengandung sebuah himpunan berhingga vektor S = { u 1 , u 2 ,…, u n } yang membentuk basis. Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis V. Contoh : Misalkan, B={ i , j , k } dengan i =[1,0,0], j =[0,1,0], dan k =[0,0,1]. B adalah basis baku untuk R 3 . Karena banyaknya vektor yang membentuk basis B adalah 3, maka R 3 berdimensi tiga. Ruang Hasil Kali Dalam Sebuah hasil kali dalam (inner product) pada ruang vektor riil V adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil [ u , v ] dengan masing-masing pasangan vektor u dan v pada V sedemikian rupa sehingga aksioma-aksioma berikut ini :   [ u , v ] = [ v , u...

RUANG –N EUCLIDES Ruang-n Euclides Jika n sebuah bilangan bulat positif, maka n- pasangan bilangan berurut adalah sebuah urutan n bilangan real ( x 1 , x 2 ,…, x n ). Himpunan semua n -pasangan bilangan berurut dinamakan ruang- n Eucides dan dinyatakan dengan R n . Definisi. Misalkan u =[ u 1 , u 2 ,…, u n ]; v =[ v 1 , v 2 ,…, v n ] vektor di R n .   u = v jika hanya jika u 1 = v 1 , u 2 = v 2 ,…, u n = v n   u + v = [ u 1 + v 1 , u 2 + v 2 ,…, u n + v n ]   k u = [k u 1 , k u 2 ,…, k u n ]     u•v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + … + u n v n   |u| = ( u•u ) 1/2 =   Ruang Vektor Misalkan V sembarang himpunan. V dikatakan sebagai ruang vektor, bilamana aksioma-aksioma berikut dipenuhi : (1)     Jika u dan v vektor-vektor di V, maka u + v juga berada di V. (2)       u + v = v + u   (3)       u +( v + w ) = ...

Nilai Eigen dan Vektor Eigen Andaikan A marik bujur sangkar berordo nxn, vektor taknol x di dalam R n dikatakan vektor eigen A, jika tedapat skalar taknol l sedemikian rupa sehingga,                             A x = l x l         disebut dengan nilai eigen dari A dan x disebut vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan l . Contoh : Vektor x = [1,2] adalah vektor eigen dari : yang bersesuaian dengan nilai eigen, l = 3, karena : Teknik Menghitung Nilai Eigen (1) Untuk menghitung nilai eigen matrik A yang berorodo nxn tulislah A x = l x sebagai,                                    A x = l I x   ...

Pengertian persamaan linier adalah suatu persamaan dengan n variabel yang tidak diketahui x 1 ,x 2 ,x 3 …., x n yang dinyatakan dalam bentuk : dimana a1,a2, …, an dan b adalah kontanta real (kompleks). Persamaan linier secara geometri dengan istilah garis. Contoh Persamaan linier : (1).   2x 1 + 4x 2 = 10 (2).   2x 1 – 4x 2 + 3x 3 + 4x 4 = 5 Secara umum, sistem persamaan linier adalah suatu susunan yang terdiri dari m persamaan linier dan n variabel yang tidak diketahui yang berbentuk : dimana x 1 , x 2 , …, x n disebut variabel yang tidak diketahui, a ij konstanta koefisien sistem persamaan linier dan b j konstanta yang diketahui. Bentuk Matrik SPL Dalam bentuk matrik SPL dituliskan menjadi,                   AX=B atau,    SPL, AX=B diklasifikasikan menjadi : (a). SPL homogen, jika koefisien matrik B=0 (b). SPL no...

PERKALIAN MATRIK ELEMENTER (1). Matrik elementer adalah matrik yang diperoleh dari operasi elementer yang dikenakan pada matrik identitas. (2). Setiap matrik elementer mempunyai invers, dan setiap matrik bujur sangkar berordo (nxn) yang mempunyai invers ekivalen baris terhadap matrik identitas I. (3). Akibatnya, jika :        E k E k–1 E k–2 …E 2 E 1 A = I, maka,          A –1 = E k E k–1 E k–2 …E 2 E 1 Matrik elementer E diperoleh dari transformasi matrik identitas dimana pada kolom ke-I diganti dengan normalitas vektor kolom : Cara menyelesaikan operasi perkalian matrik elementer 1.        Matrik berordo 3X3 Langkah-langkah: a.        Menghitung E1 Mencari A1 (A itu kolom) = N1 Mencari E1 melibatkan N1 b.       Menghitung E2 Mencari N2 = E1 x A2 Mencari E2 melibatkan N2 Mencari E2 x E1 c...